В кінці ХІХ сторіччя математикам здавалось, що вони нарешті натрапили на вірний шлях і ось-ось віднайдуть ту ідеальну форму, яку давно шукали для своєї науки. Але наступні події показали, що такої форми не існує взагалі. І сьогодні ми не маємо єдиної математики як науки чи способу мислення, натомість є багато різних математик, напрямків дослідження та наукових шкіл.

Часто можна почути, що математика – строга і точна наука, яка базується на чітких логічних засадах. На жаль, всі ці характеристики не відповідають дійсності. Найпалкіші суперечки з приводу їх важливості відбувались на початку ХХ сторіччя. Інтуіціоністи, формалісти, логіцисти – всі мали свій погляд на фундамент математики.

Логіцисти вірили, що математику можна повністю вивести з логіки. Разом з Лейбніцем, Фреге, Вайтхедом засновником цього напрямку був філософ і теоретик науки Бертран Расселл. Його авторству належить один з перших серйозних математичних парадоксів. Парадокс Расселла. Щоб його розглянути, нам знадобляться деякі факти з теорії множин, які зараз використовуються в усіх розділах математики.

Георг Кантор - батько теорії множин
Георг Кантор – батько теорії множин

Не вдаючись в деталі, якщо ввести без визначення всього два поняття – множину і елемент множини, можна з легкістю визначити натуральні числа 1, 2, 3, 4, 5, … Додамо деякі інші аксіоми – і отримаємо всю арифметику. В 1873 році батько цієї теорії, Георг Кантор, почав вивчати нескінченні множини. Поняття нескінченності, хоча і неявно використовувалось математиками раніше, само по собі є суперечливим. Можна розглядати декілька якісно різних нескінченностей. Кардинальні числа, які через десять років ввів Кантор, як раз і «вимірюють» нескінченні множини, узагальнюючи поняття кількості елементів скінченої множини і натуральних чисел.

В 1895 році Кантор вирішив розглянути множину всіх множин. Логічно, що кардинальне число такої множини повинне бути найбільшим серед усіх можливих. Але Кантор з легкістю довів, що множина всіх підмножин будь-якої множини завжди має більше кардинальне число, ніж у цієї множини. Це непорозуміння збентежило Кантора, і множини, що містять інші множини, назвали класами. Таким чином вони були вилучені з початкової теорії.

множина що містить сама себе
множина що містить сама себе

Молодий Бертран Расселл дізнався про дану поблему в 1901 році. Розв’язати ії невдалося, і замість цього він лише погіршив ситуацію, опублікувавши в 1903 році в монографії «Принципи математики» свою версію парадоксу. В ньому ведеться мова про класи. Наприклад, клас книжок не є книгою, тому не містить сам себе. Але клас ідей – це також ідея, клас каталогів – також каталог, тому ці класи містяться в собі. Розглянемо K – клас класів, які не містять самі себе. Тоді якщо К міститься в К, то за визначенням він не повинени міститись у К. Якщо ж К не міститься в К, то за тим самим визначенням він повинен міститись у К. Маємо протиріччя, яке на відміну від проблеми Кантора було сприйняте математичним товариством як катастрофа. Бо така ситуація підтверджувала, що проблема лежить не в межах логіки, а в самій математиці.

В 1918 році Расселл сформулював інший варіант антиномії – парадокс цирульника. Сільський цирюльник голить усіх, хто не голиться сам. І, звісно, не голить тих мешканців села, які голяться самі. Але хто голить цирюльника? Якщо він не голиться сам, то це суперечить першій половині висловлювання, якщо ж голиться – то другій.

Цікавий також варіант, який в 1906 році навів Беррі – парадокс слів. Будь-яке натуральне число можна описати словами. Наприклад, число 5 – це «число, яке йде за числом чотири». Розглянемо тепер всі можливі фрази менше ніж зі 100 літер української абетки. Їх не більше ніж , тому існують якісь натуральні числа, котрі не можливо описати менше ніж 100 літерами. Розглянемо «найменше натуральне число, яке не можна описати за допомогою менше ніж ста літер». Але ми тільки що описали це число, використавши 67 літер, тобто менше 100!

Схожі за формою висловлювання були відомі давно, але тоді вони ніяк не стосувались математики. Наприклад, ще Арістотель розбирав «парадокс брехуна». Суперечність в цьому і багатьох подібних, відкритих згодом випадках виникає через самопосилання. Тому об’єкти, які визначаються за допомогою класу обєктів, що містить даний об’єкт, Расселл запопонував вилучити з розгляду. Вони отримали назву «непредикативних». Але до таких належать деякі ключові поняття математики і фізики, які використовуються і зараз. Наприклад, поняття найменшої верхньої границі або максимуму функції на відрізку – надзвичайно важливі в математичному аналізі та його практичних застосуваннях.

На останок зауважимо, що парадокс Рассела насправді є протиріччям. Просто математики до останнього сподівались його розв’язати. Різниця полягає в тому, що парадокс – це справедливе твердження даної формальної системи, яке не погоджується з нашими інтуітивними уявленнями. Наприклад, таким є парадокс подвоєння кулі. В ньому йдеться про те, що тривимірна куля рівноскладена двом своїм копіям. Це вірно, але важко уявити. Протиріччя ж суперечить передумовам, з яких воно виникло.

Парадокс Рассела та інші, знайдені пізніше протиріччя призвели до початку повного перегляду засад математики в ХХ сторіччі. Він не завершений і зараз.